Boundary Homogenization and Reduction of Dimension in a Kirchhoff-Love Plate

We investigate the asymptotic behavior, as ε tends to 0+, of the transverse displacement of a Kirchhoff-Love plate composed of two domains Ωε ∪ Ω − ε , contained in the (x1, x2)-coordinate plane and depending on ε in the following way. The first domain Ωε is a thin strip with vanishing height hε (in direction x2), as ε tends to 0+. The second one Ωε is a comb with fine teeth, having small cross section εω and constant height, ε-periodically distributed (in direction x1) on the upper side of the thin strip (see Figure 1). The structure is assumed clamped on the top of the teeth, with a free boundary elsewhere, and subjected to a transverse load. As ε tends to 0+, we obtain a ”continuum” bending model of rods in the limit domain of the comb, while the limit displacement is independent of x2 in the rescaled (with respect to hε) strip. We show that the displacement in the strip is equal to the displacement on the base of the teeth, if hε ≫ ε 4. While, if the strip is thin enough (i.e. hε ≃ ε 4), we show that microscopic oscillations of the displacement in the strip, between the basis of the teeth, may produce a limit average field different from that on the base of the teeth, i.e. a discontinuity in the transmission condition may appear in the limit model. Résumé Cet article concerne le comportement asymptotique de la flexion d’une structure bidimensionnelle élastique Ωε ∪Ω − ε (contenue dans le plan (x1, x2) et sous l’hypothèse de Kirchhoff-Love) dont la géométrie dépend d’un petit paramètre ε de la façon suivante (voir la Figure 1). Le domaine Ωε est une bande d’épaisseur hε (dans la direction x2) qui tend vers 0 avec ε. Le second domaine Ωε est consitué d’un ensemble de créneaux bidimensionnels ε-périodiquement répartis dans la direction x1 et de hauteur constante dans la direction x2. La structure est encastrée aux sommets des créneaux, libre sur le reste de la frontière et elle est soumise à un champ de forces transverses. A la limite nous obtenons un ”continuum” de modèles de poutres en flexion dans le domaine rempli asymptotiquement par les créneaux et un déplacement constant en x2 dans la bande (mise à l’échelle par rapport à hε). Nous démontrons que si hε ≫ ε 4, le déplacement dans la bande est égal à celui de la base des créneaux. Par contre, si l’épaisseur de la bande est de l’ordre de ε4, des oscillations microscopiques du déplacement dans la bande entre les bases des créneaux induisent une discontinuité dans la condition de transmission du déplacement pour le modèle limite.